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Theorema Egregium（驚異の定理）

カテノイドとヘリコイドは「曲げただけ」で移り合います（局所等長変形）。同じパラメータ領域の上で、ガウス曲率 K と第一基本形式は変わりません。

曲げ（等長変形）に対して
第一基本形式 I と K は不変（内在量）
第二基本形式 II は変化（外在量）

変形アニメーション

変形 θ 35° 速度 22

θ=0° がヘリコイド（螺旋面）、θ=90° がカテノイド（懸垂面）。途中もすべて極小曲面 (H=0) です。※同じ (u,v) パッチを曲げているので、θ=90° では u=0 と 2π が同じ縁で閉じますが、θ=0° のヘリコイドでは縁が高さ方向にずれて閉じません。

追跡点 P での計測（実時間）

ガウス曲率 K—

第一基本形式 E—

　　〃　　 F—

　　〃　　 G—

第二基本形式 L—

　　〃　　 M—

　　〃　　 N—

LN − M²—

平均曲率 H—

緑＝不変（曲げても一定）、橙＝変化。θ を動かすと II=(L,M,N) は動くのに、組合せ LN−M² と I=(E,F,G) は不変 → K=(LN−M²)/(EG−F²) も不変。理論値 K = −1/cosh⁴v。

表示

ガウス曲率 K を色で表示ワイヤーフレーム自動回転

負

正

解説

ガウスの驚異の定理 (Theorema Egregium)：ガウス曲率 K は曲面を曲げても（長さ・角度を保つ等長変形では）変わらない内在的な量です。K は第一基本形式 (E,F,G) だけから決まり、空間内の見え方（第二基本形式）には依りません。

カテノイドとヘリコイドはこの定理の代表例で、紙を曲げるように一方から他方へ連続的に変形できます（associated family）。変形中、各点の K と第一基本形式 (E,F,G) は完全に一定なのに、第二基本形式 (L,M,N) と曲面の形は大きく変わります。これが「曲げても伸び縮みしなければ K は不変」という主張の可視化です。
（補足1：ここでの等長性は同じ (u,v) パラメータ領域上での局所的なものです。完全曲面としてのカテノイド（u 方向に閉じた回転面）とヘリコイド（u 方向に閉じず無限に伸びる）は大域的には別物で、厳密にはカテノイドの普遍被覆として一致します。実際 θ=90° では u=0 と 2π が同じ縁で閉じますが、θ=0° では縁が高さ方向にずれます。）
（補足2：この族はすべて極小曲面 H=0 なので、主曲率 k₁,k₂=±√(−K) もたまたま不変です。一般の曲げでは k₁,k₂ は変化します。）