測地線と Gauss–Bonnet

3 頂点を結ぶ測地線で三角形を作り、内角の和と曲率積分を比較します。頂点 A·B·C をドラッグできます。

曲面をクリックして出発点を置き、向きと長さを調整します。測地線＝曲面上の「まっすぐな線」です。

球面では大円（最短経路）、円柱では螺旋、トーラスや擬球面では複雑に巻きつく様子が見えます。

測地三角形 T では局所 Gauss–Bonnet の定理より
∬T K dA = (Σ 内角) − π
が成り立ちます（辺が測地線なので測地的曲率の寄与は 0）。曲率 K が正なら内角の和は π を超え（球面）、負なら不足し（鞍面）、K=0 の円柱では平面と同じく和はちょうど π です。トーラスでは正負が打ち消し合います。

---

曲面・測地線・曲率は数値計算（第一/第二基本形式と Christoffel 記号を差分で算出、測地線方程式を RK4 積分）なので、表示される 2 量はわずかな数値誤差を除いて一致します。