ドラッグで回転 / ホイールで拡大縮小 / 頂点 A·B·C をドラッグして動かす
測地線と Gauss–Bonnet
曲面上の「測地線三角形」で局所 Gauss–Bonnet の定理を数値的に確かめます。
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デモ一覧
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2D 曲線短縮流
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3D 平均曲率流
∬
T
K dA = (θ
A
+θ
B
+θ
C
) − π
モード
測地線三角形
測地線シュート
3 頂点を結ぶ測地線で三角形を作り、内角の和と曲率積分を比較します。頂点 A·B·C をドラッグできます。
曲面
球面 (K>0)
トーラス (K混在)
鞍面 (K<0)
擬球面 (K=−1)
円柱 (K=0)
三角形リセット
Gauss–Bonnet の検証
内角 θ
A
—
内角 θ
B
—
内角 θ
C
—
内角の和 Σθ
—
角度超過 Σθ−π
—
曲率積分 ∬K dA
—
—
測地線シュート
曲面をクリックして出発点を置き、向きと長さを調整します。測地線=曲面上の「まっすぐな線」です。
向き φ
40°
長さ L
9.0
球面では大円(最短経路)、円柱では螺旋、トーラスや擬球面では複雑に巻きつく様子が見えます。
表示
ガウス曲率 K を色で表示
三角形の領域を塗る
ワイヤーフレーム
自動回転
負(鞍)
正(凸)
この定理について
測地三角形 T では局所 Gauss–Bonnet の定理より
∬
T
K dA = (Σ 内角) − π
が成り立ちます(辺が測地線なので測地的曲率の寄与は 0)。曲率 K が正なら内角の和は π を超え(球面)、負なら不足し(鞍面)、K=0 の円柱では平面と同じく和はちょうど π です。トーラスでは正負が打ち消し合います。
曲面・測地線・曲率は数値計算(第一/第二基本形式と Christoffel 記号を差分で算出、測地線方程式を RK4 積分)なので、表示される 2 量はわずかな数値誤差を除いて一致します。