二等辺三角形の底辺くらべ — 平面・球面・双曲平面

同じ頂角 α・同じ斜辺 a の二等辺三角形を 3 つの世界で作ると、底辺の長さはどう変わるか。

▸ デモ一覧  /  測地線の広がりとヤコビ場  /  測地線と Gauss–Bonnet

問題　ℝ2, S2(1), H2(1) 上で，各々，頂角 α，斜辺の長さ a の二等辺三角形を考える。これらの二等辺三角形の底辺の長さを比較せよ。
1 / 6 — →次へ　←戻る　Hキー一覧

球面 S2(1)K > 0

底辺 bs—
—

平面 ℝ2K = 0

底辺 be—
—

双曲平面 H2(1)K < 0

底辺 bh—
—

底辺の長さくらべ（同じ縮尺で並べたもの）

頂角 α を動かしたときの底辺 b（斜辺 a は固定）

余弦定理から底辺を求める

—

半角で整理すると 3 つの式がそろう

—
—
下段の 3 式は右辺の sin(α/2) が共通で、左右の違いは a か sin a か sinh a か だけです。 sin x < x < sinh x（x > 0）と sin, sinh の単調性から すべての α, a に対して bs < be < bh が従います。 スライドは α = π/3, a = π/6 の場合を余弦定理で直接計算していますが、一般に成り立つということです。

操作

球面パネルはドラッグで回転できます。双曲平面はポアンカレ円板（角度は正しく、縁に近いほど実際は遠い）で、円板の中心を頂点に取っています。

スライドの場面を再現

「問題の設定」では 3 本の棒がほとんど同じ長さに見えます。a を大きくすると差がはっきりします。 問 4 のボタンはどの a でも α > 60° になり、球面の正三角形の内角が必ず π/3 を超えることが確かめられます （α は sin(α/2) = 1/(2cos(a/2)) の解）。
→←場面を進む／戻る Space次へ 1–6場面を直接 ↑↓斜辺 a Shift+→頂角 α R最初から P発表モード F全画面 Hキー一覧

キーボード操作

→ / ← / Space場面を進む / 戻る（プレゼン用リモコンでも動きます）
1 … 6その場面へ直接とぶ
↑ / ↓斜辺 a を変える
Shift + → / ←頂角 α を変える
Eいまの a で球面が正三角形になる α にする（問 4）
R最初の場面に戻す
0球面の視点を戻す
P発表モード（文字を大きく・説明を隠す）
F全画面表示
H / ?この一覧
もう一度 H か Esc、またはクリックで閉じます