測地線の広がりとヤコビ場
最短線 l0 に直交して出発した測地線たちが，進むにつれて近づくのか・離れるのか。曲率がその答えを決めます。
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曲率ビジュアライザ
問題 曲面 M 上のある最短線 l0 に直交する 2 つの最短線 l1, l2 は交わるか？
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平面 ℝ2K = 0
l1, l2 の間の距離—
ずっと平行 — 交わらない
間隔のグラフ Y(s)：l0 から距離 s だけ進んだところでの l1, l2 の隔たり
ℝ2
S2(r)
H2(r)
破線＝ヤコビ場 Y(s) の予測
ヤコビ方程式 Y″ + R(Y) = 0
| M | 方程式 | Y(0)=d, Y′(0)=0 の解 |
|---|
| ℝ2 | Y″ = 0 | Y = d |
| S2(r) | Y″ + Y/r2 = 0 | Y = d cos(s/r) |
| H2(r) | Y″ − Y/r2 = 0 | Y = d cosh(s/r) |
l1 と l2 が交わる ⇔ Y(s₀) = 0 となる s₀ が存在する。球面では s₀ = πr/2（北極）で必ず交わり，平面と双曲平面では決して 0 にならない。これがヤコビ方程式を解くだけで分かってしまう，というのがこの話の要点です。
実線と破線のずれについて
実線は l1, l2 の本当の距離で，
球面 cos(D/r)=cos²(s/r)cos(d/r)+sin²(s/r)，
双曲面 cosh(D/r)=cosh²(s/r)cosh(d/r)−sinh²(s/r) から厳密に計算しています。
破線のヤコビ場は d が微小なときの近似なので，d を小さくすると 2 本は重なります。
球面では s = πr/2 でどちらもちょうど 0 になります。
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