点 P とベクトル v の先端をドラッグできます

微分形式の幾何

1形式を平行線の「層 (stack)」、2形式を向きつき面積セルで描き、外微分 d とストークスを可視化します（2次元）。

ω = P dx + Q dy ⟶ dω = (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dx∧dy

1形式 ω

点 P—

ω|_P = (P, Q)—

ベクトル v—

ω(v) = P·v_x+Q·v_y—

ω(v) は「v が層の線を横切る本数」（符号つき）に等しい。線が密＝ω が大きい。

1形式 ω の層（平行線）外微分 dω（2形式）を色で表示 2形式の向きセルを表示

領域サイズ R0.90

左辺 ∮_∂R ω—

右辺 ∬_R dω—

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1形式はベクトルに数を返す線形写像。幾何的には「等間隔の平行線の層」で、ω(v) は v が横切る線の本数です。外微分 d は 1形式から2形式 dω を作り、2次元では dω=(Q_x−P_y)dx∧dy（＝回転）。完全形式 df は必ず閉 (d(df)=0)。

一般化ストークス ∮_∂Rω = ∬_Rdω はグリーンの定理そのもの。3次元の rot・div（ストークス・発散定理）も同じ枠組みで、3大積分定理デモで扱います。