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部分集合 X がコンパクト ⇔ X の任意の開被覆は有限部分被覆を持つ。
有限部分被覆が取れる/取れない様子を、開区間の族を増やしながら見比べます。
$X$ がコンパクト ⇔ $X$ の任意の開被覆 $\{U_\lambda\}$ から有限部分被覆 $U_{\lambda_1},\ldots,U_{\lambda_n}$ が取れる。
Heine–Borel の定理 (ℝⁿ): 部分集合がコンパクト ⇔ 有界かつ閉。
したがって [0,1] はコンパクト、(0,1) は閉でないので非コンパクト、ℝ は有界でないので非コンパクト。
非コンパクトの典型例:
・(0,1) の被覆 $\{(1/n, 1)\}_{n=2}^{\infty}$ — 有限個では (0, 1/(N+1)] が残る
・ℝ の被覆 $\{(-n, n)\}_{n=1}^{\infty}$ — 有限個では |x| > N が残る