第4章連結性・弧状連結性

2点を経路で結べるか?(弧状連結) 集合をふたつに「裂けない」か?(連結) を、典型例で見ます。弧状連結 ⇒ 連結 ですが、逆は一般に成り立ちません(後出: 位相幾何学者の正弦曲線)。

プリセット

連結 (connected)—

弧状連結 (path-conn.)—

—

2点ペアを切り替え、「経路をたどる」を押すと、集合内で 2 点を結ぶ経路があるか試します。失敗するペアでは「2つに裂けて経路が無い」ことや「無限に振動して届かない」ことが見えます。

連結: X が空でない2つの開集合の disjoint union として書けない。

弧状連結: 任意の 2点 x, y に対し連続写像 γ: [0,1] → X で γ(0)=x, γ(1)=y となるものが存在。

弧状連結 ⇒ 連結。逆は成り立たない(位相幾何学者の正弦曲線)。