第2章 距離空間 — 開球

距離の選択

指数 p 3.00

パラメータ

半径 r 1.00 中心を原点に戻す

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L¹・L²・L∞ を重ね描き(比較) 等距離曲線 (r/4, r/2, 3r/4) 内部を塗る 格子・座標軸を表示

定義と要点

距離の比較(本講では 1 ≤ p ≤ ∞):

• L¹: d₁(x, y) = |x₁−y₁| + |x₂−y₂| → 開球は菱形
• L²: d₂(x, y) = √((x₁−y₁)² + (x₂−y₂)²) → 円
• L^∞: d_∞(x, y) = max(|x₁−y₁|, |x₂−y₂|) → 正方形
• L^p: d_p(x, y) = (Σ |x_i−y_i|^p)^1/p

大事なポイント: ℝⁿ 上の L^p 距離 (1 ≤ p ≤ ∞) はすべて同じ位相を定めます。形は違っても、どの L^p 球も他の L^q 球と互いに入れ子にできるため、開集合の集まり(=位相)は同じです。「比較」をオンにすると同じ r で形だけ変わる様子が見えます。