q・ξ の先端をドラッグ／背景ドラッグでパン／ホイールでズーム

切断と焦超平面配置

等焦部分多様体 M ⊂ N の幾何は、平坦切断 Σ 上の焦超平面配置（＋重複度）に完全に符号化されます。周囲次元によらずこの 1 枚で読めるのが「設計図」ビューです。

周囲空間の型

例（プリセット）

制限ルート系 Δ

次元

階数 r = codim M—

Σ_α∈Δ⁺ m_α = dim M—

dim N—

—

平行写像 F_t^ξ(q) = exp_q(tξ)

法方向 ξ の角18° パラメータ t0.000

x = q + tξ—

dim ker d(F_t^ξ)_q—

dim M_tξ—

焦半径（ξ 方向）

負の焦半径も表示

焦半径 t ⟺ 半直線 q+tξ が焦超平面に乗る。重複度 = その点で当たる超平面の m_α の総和 = dim ker d(F_t^ξ)_q。

主曲率（x = q + tξ での A_ξ）

曲率分布 T_xM = ⊕_α 𝔭_α（dim 𝔭_α = m_α）上で A_ξ はスカラー。符号規約は A_ξX = −∇_Xξ（ξ は平行法ベクトル場）。

表示

Weyl 軌道 W·q = M ∩ Σ q を含むアルコーブ（Weyl 部屋）曲率法線 n_α（q 起点）平行部分多様体 W·(q+tξ) 球面切断 |x| = |q|（等径超曲面）格子・座標軸切断を閉測地線（円）で表示（r=1）

球面内の等径超曲面

ユークリッド型・r=2 で、原点中心の球面 S^dim𝔭−1 と交わると等径超曲面が得られる。相異なる主曲率の個数 g は超平面の本数、m_i=m_i+2（Münzner）が配置の交代性として見える。

解説

等焦部分多様体：コンパクト対称空間 N のコンパクト部分多様体 M で、(i) 法束が平坦で自明なホロノミーをもち、(ii) 各点の法指数像 Σ = exp_p(T_p^⊥M) が平坦な全測地的切断で、(iii) 任意の非零平行法ベクトル場 ξ に沿う焦半径が M 上一定であるもの。

平坦切断の役割：一般には強 M–ヤコビ場の零点（＝ker d F_t^ξ が測る接方向焦点）と通常の焦点は一致しない。切断が平坦なとき両者が一致するので、本デモは一貫して ker dF_t^ξ で焦点を測っている。

配置の生成：Σ を普遍被覆 ℝ^r でとると、焦点集合は超平面族 ℓ_α,j = {x : α(x) = jπ}（コンパクト型）／{x : α(x) = 0}（ユークリッド型）で、その鏡映が生成する群がアフィン Weyl 群／有限 Coxeter 群 W。M ∩ Σ は正則点 q の W 軌道。

次元の落ち方：t が焦半径のとき、焦部分多様体は dim M − Σ_{当たった α} m_α 次元。壁を 1 枚だけ横切るなら m_α だけ落ちる。

ユークリッド型は s-表現（対称空間のイソトロピー表現）の主軌道＝Terng の意味の等径部分多様体。焦超平面は原点を通り、W は有限。焦半径は主曲率の逆数 1/λ に一致する。

参考

C.-L. Terng, Isoparametric submanifolds and their Coxeter groups, J. Differential Geom. 21 (1985).
C.-L. Terng and G. Thorbergsson, Submanifold geometry in symmetric spaces, J. Differential Geom. 42 (1995).
E. Heintze, R. S. Palais, C.-L. Terng, G. Thorbergsson, Hyperpolar actions on symmetric spaces (1995).
N. Koike, Complex equifocal submanifolds and infinite-dimensional anti-Kaehlerian isoparametric submanifolds, Tokyo J. Math. 28 (2005).
H. F. Münzner, Isoparametrische Hyperflächen in Sphären, Math. Ann. 251 (1980).